In einem jüngst erschienenen Artikel weist Christian Müller zu Recht darauf hin, dass die Finanzmärkte sich in einem wesentlichen Aspekt von einem Roulettespiel unterscheiden: Beim Roulette wissen wir (recht) genau, mit welcher Wahrscheinlichkeit etwa das Ereignis „Rot“ eintritt. Wir haben es hier mit objektiven Wahrscheinlichkeiten zu tun, für die die Gesetze der Wahrscheinlichkeitstheorie gelten. Christian Müller kritisiert unter anderem, dass die ökonomische Theorie unterstellt, dass wir es auch auf den Aktienmärkten mit solchen objektiven Wahrscheinlichkeiten zu tun haben, was aber nicht der Fall sei.

Dies ist ein wichtiger Punkt, der gerade angesichts der jüngsten Krise mehr Aufmerksamkeit verdient, als es bislang in den Medien und der angewandten Wirtschaftsliteratur der Fall ist. Nicht richtig ist allerdings der Vorwurf, dass die ökonomische Theorie keine Antwort auf solche Unsicherheit hätte.

Unsicherheit ohne Wahrscheinlichkeiten

Unsicherheit, die man nicht einfach mit objektiven Wahrscheinlichkeiten versehen kann, ist allgegenwärtig. Denken wir etwa an die Wette „Schalke 04 wird Deutscher Meister 2010/11“. Natürlich können wir über die Preise der verschiedenen Wettagenturen auf deren implizite Wahrscheinlichkeiten für dieses Ereignis schließen wollen. Niemand wird aber behaupten können, dass wir ein statistisches Verfahren hätten, um einigermaßen genau eine Wahrscheinlichkeit festlegen zu können. Für deutsche Bieter wird dies sicherlich noch viel deutlicher, wenn wir an das Ereignis „The San Francisco Giants win the World Series 2011“ denken (eine Baseball-Wette).

Die Beispiele sind weniger akademisch, als man vielleicht denken mag. Ein großes Problem der aktuellen Finanzkrise war ja gerade, dass die Banken Ratings wie „AA“ oder „B“ in objektive Ruinwahrscheinlichkeiten „übersetzt“ haben und dann hemdsärmelig mit den Modellen der Finanzmathematik, die natürlich auf Wahrscheinlichkeitstheorie basieren, ihre Derivate bewertet haben. Es gibt aber vielerlei Gründe, warum „AA“ keine objektive Ruinwahrscheinlichkeit ist.

Andererseits bedeutet die Tatsache, dass wir keine eindeutige Wahrscheinlichkeitsverteilung postulieren können, nicht zwangsläufig, dass quantitative Methoden generell versagen. Wir haben es hier mit der so genannten Modellunsicherheit bzw. „Unsicherheit im Sinne von Knight“ (der ja auch von Christian Müller erwähnt wird) zu tun. Hierzu hat sich in den letzten Jahren sowohl in der Entscheidungstheorie wie auch in der mathematischen Finanzmarkttheorie eine reichhaltige Literatur entwickelt. Es gibt also eine Antwort der Ökonomen (und Finanzmathematiker) auf solche Unsicherheiten – leider ist diese Literatur in der Praxis wie auch in der politischen Diskussion nicht aufgenommen worden. Es ist aber an der Zeit, dass dies nun geschieht.

Die Antwort der Theorie

Wie sieht nun die Antwort der (mathematischen) Ökonomen auf Modellunsicherheit aus? Kurz und knapp gesagt: Es ist in den letzten zehn Jahren gelungen einen Kalkül zu entwickeln, der die Unsicherheit, denen (fast) alle ökonomischen Modelle unterworfen sind, mit in die Berechnungen hinein nimmt.

Wie funktioniert dies? In der Finanzmathematik werden seit einiger Zeit monetäre Risikomaße ausführlich diskutiert. Ein monetäres Risikomaß soll in Geldeinheiten messen, wie unsicher eine Position ist. Ausgehend von einigen vernünftigen Axiomen wie etwa dem Diversifikationsprinzip kann man zeigen, dass man statt mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß mit einer ganzen Klasse von Einschätzungen arbeiten sollte und diese mit einem pessimistischen Entscheidungskalkül („worst-case Analyse“) verbinden sollte.

Schauen wir uns zur Illustration das Schalke 04-Beispiel an. An Hand von Expertenmeinungen und vergangener Ergebnisse sind wir vielleicht der Meinung, dass Schalke 04 mit einer Wahrscheinlichkeit von 10% Deutscher Meister 2010/11 wird. Dies ist aber natürlich keine belastbare Wahrscheinlichkeit, auf die wir (etwa als Wettagentur) unsere Preise basieren könnten. Die Erfinder der „kohärenten Risikomaße“ – Philippe Artzner, Freddy Delbaen, Jean-Marc Eber und David Heath – schlagen daher vor, mit einer ganzen Bandbreite von Wahrscheinlichkeiten, also etwa von 5% bis 15%, zu rechnen. Wenn wir die Wette verkaufen, also einen Euro zahlen müssen, wenn Schalke 04 Meister wird, sollten wir mit der für uns ungünstigsten Wahrscheinlichkeit 15% rechnen und 15 Cent als Preis fordern. Wenn wir hingegen selbst die Wette kaufen, sollten wir mit 5% rechnen, und daher nur 5 Cent ausgeben. Intuitiv verfahren die Wettagenturen ja auch genau so, wenn sie für solche besonders unsicheren Wetten hohe Spreads setzen.

Ich habe bewusst dieses (zu) einfache Beispiel gewählt, um die Grundidee zu verdeutlichen.
Im Allgemeinen sind die finanzmathematischen Modelle natürlich viel komplexer und wir können nicht einen ganz so simplen „worst-case-Ansatz“ verfolgen. Nichtsdestotrotz existiert ein sehr gut entwickelter Kalkül; im Allgemeinen rechnet man mit sämtlichen möglichen Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die man mit einer Straffunktion gemäß ihrer Plausibilität bewertet. Ein möglicher Ansatz, der auch leicht implementierbar ist, benutzt die relative Entropie bezüglich eines Referenzmaßes als Strafe. Inzwischen ist es möglich, (fast) alle Modelle der Optionsbewertung gegen Modellunsicherheit abzusichern; auch technisch sind schon viele implementierbar.

All diese Ansätze – hier stimme ich wieder mit Christian Müller überein – sind den gegenwärtigen Value-at-Risk-basierten Ansätzen vorzuziehen. Die Methoden sind da; es kommt nun darauf an, sie auch in der Praxis zu verwenden.

Literatur:

Kohärente Risikomaße wurden in „Coherent Measures of Risk“, Mathematical Finance, 1999, 203-228 von Artzner, Delbaen, Eber und Heath vorgeschlagen. Einen guten Überblick über die aktuellen Entwicklungen bietet „Convex and Coherent Risk Measures“ von Hans Föllmer und Alexander Schied, Encyclopedia of Quantitative Finance, Cont, R. (Ed.). John Wiley & Sons, 355-363 (2010). Wie man solche Methoden etwa auf amerikanische Optionen anwendet, kann man in „Optimal Stopping with Multiple Priors“, Econometrica, 2009, 857-908 durch den Autor dieser Zeilen nachlesen. Anwendungen für Makroökonomie und Politik werden im neuen Lehrbuch „Robustness“ von Lars Peter Hansen und Tom Sargent, Princeton University Press, 2010 diskutiert.  In der mikroökonomischen Literatur laufen die entsprechenden Arbeiten unter dem Namen „Knightian Ambiguity“; von den deutschen Theoretikern hat sich unter anderem Jürgen Eichberger von der Universität Heidelberg hier einen Namen gemacht.

©KOF ETH Zürich, 1. Sep. 2010